Uma Bela Herança
O motivador da discussão deste post é meio estranho: em 17 de dezembro de 2020 serão comemorados 250 anos desde o nascimento do grande compositor alemão Ludwig van Beethoven. Não é incomum ver pessoas abrindo poupanças para seus filhos logo quando nascem (para que eles tenham um pé-de-meia quando crescerem) e isso me fez pensar como ficaria uma poupaça aberta para Beethoven 250 anos atrás…
Sendo assim, em pleno 2020, uma carta chega à casa do último herdeiro vivo do músico, você, lhe dando acesso à recém-descoberta poupança do seu tatara-tataravô. Como poderia existir uma poupança em 17 de dezembro de 1770 ou como ela durou até hoje é um mistério, mas sabe-se que ela foi aberta com o que atualmente seriam R$ 500,00.
Visualizando a Poupança
Para saber quanto dinheiro há hoje na poupança, basta utilizar a fórmula de juros compostos:
\[ V_f=V_p(1+j)^n \]
Onde \(V_f\) é o valor final, \(V_p\) é o valor inicial, \(j\) é a taxa de juros e \(n\) é o número de períodos que o dinheiro ficou guardado (número de anos se os juros forem anuais, número de meses se os juros forem mensais, etc.).
Mas, muito mais do que simplesmente obter o valor final, é interessante ver o
crescimento dos fundos da poupança ao longo do tempo. Isso pode ser feito com o
pacote ggplot2 facilmente: basta utilizar a fórmula acima para cada um dos 250
anos e plotar esses pontos em um scatterplot. Entretanto, temos uma opção
ainda melhor.
Um recurso pouco conhecido do ggplot2 é o stat_function(), capaz de
construir uma linha contínua no gráfico a partir de uma função que recebe o
valor de uma abscissa e retorna o valor da ordenada correspondente. Ou seja, se
tivermos uma função f(x) = y, podemos passá-la como argumento para o
stat_function() desenhá-la (com o nível de resolução mais apropriado).
Sendo assim, precisamos transformar a função
ternária Vp*(1+j)**n em uma função
que recebe apenas um argumento. Para isso devemos usar uma técnica denominada
currying, que essencialmente
“pré-preenche” argumentos de uma função; nesse caso, vamos fixar o valor de Vp
e j de modo que somente o n varie. A função unária final, que podemos
construir com purrr::partial(), nos mostrará quanto tinha na poupança depois
de n unidades de tempo (a saber, anos).
O código final para a visualização é o seguinte:
library(magrittr)
# Fórmula de juros compostos
juro_composto <- function(Vp, j, n) Vp*(1+j)**n
# Gerar um gráfico de juros compostos
grafico_juros <- function(Vp, j, n, SI = TRUE) {
# Atalho para o ggplot (currying)
juro_fixado <- purrr::partial(juro_composto, Vp = Vp, j = j)
# Exibir eixos de forma abreviada
scale_real <- if (SI) { scales::label_number_si(prefix = "R$ ") } else { I }
# Mostrar no gráfico
c(0, n) %>%
dplyr::tibble(x = .) %>%
ggplot2::ggplot(ggplot2::aes(x)) +
ggplot2::stat_function(fun = juro_fixado) +
ggplot2::scale_y_continuous(labels = scale_real) +
ggplot2::xlab("Anos") +
ggplot2::ylab("Valor Final") +
ggplot2::theme_minimal()
}Agora vamos para os detalhes da poupança. Para desconsiderarmos a inflação, digamos que a poupança começou com o que nos valores de hoje seriam R$ 500,00; uma poupança rende, em média, módicos 6% ao ano, então vamos usar isso como referência; por fim, o dinheiro ficou parado lá por 250 anos. Quanto você acha que terá na conta agora em 2020?
grafico_juros(500, 0.06, 250)
Como é de se esperar, juros compostos são uma função exponencial. Depois desses 250 anos, os R$ 500,00 se tornaram mais de R$ 1B. Nada mal para uma mera poupança.
Bônus
Aproveitando que já temos todo o código pronto, podemos visualizar outras séries exponenciais. Se colocássemos 1 centavo na poupança no ano 1 D.C., hoje em dia teríamos aproximadamente R$ 1.311740210^{49}, ou mais ou menos R$ 0,10 para cada átomo da Terra. Essa é a mágica dos juros compostos.
grafico_juros(0.01, 0.06, 2020, FALSE)
Uma propriedade interessante de frases como “crescimento de 3%” é que raramente notamos que essa porcentagem se acumuma ano-a-ano. Um país cujo PIB cresce 3% ao ano tem que dobrar a sua economia a cada 25 anos. Atualmente o PIB do Brasil é de R$ 7T, vejamos o gráfico de nossa economia crescendo a 3% todo ano:
grafico_juros(7e12, 0.03, 25)
Isso pode não impressionar muito, mas, se começármos a falar em escalas globais, a coisa muda de figura. Os EUA têm um PIB de US$ 17T, enquanto a soma de todos os PIBs do mundo dá aproximadamente US$ 80T; se a economia estadunidense crescesse a 3% pelos próximos 100 anos, precisaríamos de mais de 4 PIBs mundiais para chegar perto desse novo PIB dos EUA.
grafico_juros(17e12, 0.03, 100)
Uma coisa que não cresce exponencialmente, entretanto, é a quantidade de recursos disponíveis na natureza…
