Componentes principais são bastante utilizados em modelagem estatística, mas a sua definição matemática rigorosa faz com que a ACP pareça um conceito mais abstrato do que somos capazes de compreender, em particular quando falam “maximizar a variância total” e “diminuir a dimensionalidade”. A primeira reação é um grande “HEIN?”.
Abaixo tem alguns gráficos em 3 dimensões que dão uma boa ilustração sobre o que essas duas afirmativas querem dizer e, mesmo sendo um exemplo simples, irão ajudar a extrapolar a ideia para problemas mais complexos.
- O primeiro gráfico é a representação com 100% da informação em três dimensões.
- O segundo gráfico é como fica a representação do mesmo conjunto de dados, mas com uma dimensão a menos (redução de dimensionalidade).
- Ao diminuir uma dimensão, perdemos informação (não é mais 100% da variância total) e essa perda é mensurada pela variância explicada pelas dimensões que deixamos para trás.
- As duas primeiras dimensões projetam os dados de forma que apresentam a máxima a variância total possível em apenas duas dimensões.
pacotes para os exemplos
library(magrittr)
library(tidyr)
library(dplyr)Observação: não esqueça de girar os gráficos! =)
Exemplo 1 - Tetraedro
a <- 1
tetraedro <- data.frame( x = c(a * sqrt(3)/3, - a * sqrt(3)/6, - a * sqrt(3)/6, 0),
y = c(0, - a/2, a/2, 0),
z = c(0, 0, 0, a * sqrt(6)/3),
cor = c("a", "b", "c", "d"),
id = 1:4)
tetraedro_linhas <- combn(x = tetraedro$id, m = 2) %>%
t %>%
as.data.frame.matrix %>%
set_names(c("id1", "id2")) %>%
mutate(id_par = 1:n()) %>%
gather(id_ordem, id, id1, id2) %>%
left_join(tetraedro, by = "id") %>%
arrange(id_ordem)Contribuição dos componentes na variância total
tetraedro_pc <- prcomp(tetraedro %>% dplyr::select(x, y, z)) # PCA acontece aqui
knitr::kable(summary(tetraedro_pc)$importance)| PC1 | PC2 | PC3 | |
|---|---|---|---|
| Standard deviation | 0.4082483 | 0.4082483 | 0.4082483 |
| Proportion of Variance | 0.3333300 | 0.3333300 | 0.3333300 |
| Cumulative Proportion | 0.3333300 | 0.6666700 | 1.0000000 |
3 dimensões (100% da variância)
library(plotly)
plot_ly(tetraedro_linhas, x = ~x, y = ~y, z = ~z) %>%
add_lines() %>%
add_markers()2 dimensões (67% da variância)
tetraedro_pc_pred <- tetraedro_pc %>% predict %>% as.data.frame
plot_ly(tetraedro_pc_pred, x = ~PC2, y = ~PC3, z = ~PC3) %>%
add_lines() %>%
add_markers()Exemplo 2 - Uma forma legal
x <- c()
y <- c()
z <- c()
c <- c()
for (i in 1:62) {
r <- 20 * cos(i / 20)
x <- c(x, r * cos(i))
y <- c(y, r * sin(i))
z <- c(z, i)
c <- c(c, i)
}
forma_legal <- data.frame(x, y, z, c)Contribuição dos componentes na variância total
forma_legal_pc <- prcomp(forma_legal %>% dplyr::select(x, y, z)) # PCA acontece aqui
knitr::kable(summary(forma_legal_pc)$importance)| PC1 | PC2 | PC3 | |
|---|---|---|---|
| Standard deviation | 18.04936 | 10.13750 | 9.854732 |
| Proportion of Variance | 0.61975 | 0.19550 | 0.184750 |
| Cumulative Proportion | 0.61975 | 0.81525 | 1.000000 |
3 dimensões (100% da variância)
plot_ly(forma_legal, x = ~x, y = ~y, z = ~z, type = "scatter3d", mode = "markers+lines",
line = list(width = 6, color = ~c, colorscale = 'Viridis'),
marker = list(size = 3.5, color = ~c, colorscale = 'Greens',
cmin = -20, cmax = 50))2 dimensões (82% da variância)
forma_legal_pc_pred <- forma_legal_pc %>% predict %>% as.data.frame
plot_ly(forma_legal_pc_pred, x = ~PC1, y = ~PC2, z = 1, type = 'scatter3d', mode = 'lines+markers',
line = list(width = 6, color = ~c, colorscale = 'Viridis'),
marker = list(size = 3.5, color = ~c, colorscale = 'Greens',
cmin = -20, cmax = 50))Para saber mais
Meu livro predileto sobre esse assunto (e para muitos outros) é o An Introduction to Statistical Learning.
abs
